Теория эллиптических интегралов и эллиптических функций М. Тихомандрицкий

У нас вы можете скачать книгу Теория эллиптических интегралов и эллиптических функций М. Тихомандрицкий в fb2, txt, PDF, EPUB, doc, rtf, jar, djvu, lrf!

Введение в теорию бесселевых функций. Специальные функции и их приложения 2-е изд. Введение в теорию эллиптических функций 2-е изд. Классические ортогональные многочлены 2-е изд. Теория эллиптических интегралов и эллиптических функций. В основе перового из них лежит задание полюсов рациональной функции и соответствующих им главных частей, что приводит нас к разложению рациональной функции на простейшие дроби. В основе второго аналитического представления рациональной функции лежит задание ее нулей и полюсов, что дает нам возможность представить ее в виде отношения произведений линейных множителей.

В самом деле, полагая в соотношении 6 получим: В силу теоремы 5, если то , откуда вытекает соотношение вида 7: Образуем теперь функцию которая будет эллиптической с теми же периодами, что и f z , восьмого порядка; эта функция имеет два полюса четвертого порядка в точках и и нули второго порядка в четырех точках 8.

Заметив, что есть эллиптическая функция с теми же периодами, что и F z , того же порядка и с теми же нулями и полюсами, мы на основании теоремы 2 следствие 2 заключаем: Откуда 9 Полагая Найдем 10 где R - полином 4-й степени относительно. Таким образом, эллиптическая функция второго порядка может быть рассмотрена как обращение эллиптического интеграла первого рода В этом случае удовлетворяет соотношению точка будет полюс третьего порядка для , ее нули расположены в точках Образуем функцию которая будет эллиптической с теми же периодами, что и , шестого порядка; эта функция имеет полюс шестого порядка в точке и нули второго порядка в точках , ,.

Заметив, что есть эллиптическая функция с теми же периодами, что и Ф z , того же порядка и с теми же нулями и полюсами, мы на основании теоремы 2 следствие 2 заключаем: Таким образом, эллиптическая функция второго порядка и в случае двойного полюса может быть рассмотрена как обращение эллиптического интеграла первого рода вида Эллиптическим интегралом называется интеграл вида 13 где R — рациональная функция своих аргументов и - многочлен третьей или четвертой степени.

В отдельных случаях этот интеграл может выражаться через элементарные функции, как например, интеграл В этом случае он называется псевдоэллиптическим.

Можно показать, что с помощью элементарных подстановок и преобразований эллиптический интеграл преобразуется к одной из трех канонических форм 14 где k и l — постоянные. Подстановка приводит интегралы 14 к тригонометрической форме 15 Аргумент называется амплитудой эллиптического интеграла.

Для интегралов в форме 15 приняты следующие обозначения: Особенно часто встречаются интегралы с амплитудой , равной ; они называются полными и для первых двух из них приняты специальные обозначения Вычисление дуги эллипса приводит к эллиптическим интегралам.

Действительно, отрезок дуги, соответствующий изменению абсциссы от 0 до x равен Где Это — эллиптический интеграл второго рода в форме Лежандра. Полная длина эллипса выражается через эллиптический интеграл 16 Этому обстоятельству и обязаны своим названием эллиптические интегралы, а также их обращения — эллиптические функции.

Чтобы ввести их, рассмотрим уравнение 17 оно третьей степени по p имеет при фиксированных x, y, z три действительных корня , , , удовлетворяющих неравенству. Система координат , , ортогональна, так как поверхности представляют собой, соответственно, софокусный эллипсоид, однополосный и двуполосный гиперболоиды, то есть взаимно ортогональные поверхности рис.

Для этого достаточно привести левую часть 17 к общему знаменателю и, заметив, что в числителе при этом получится многочлен третьей степени относительно p со старшим коэффициентом -1, разложить его на линейные множители Рисунок 2 Чтобы получить 18 , остается умножить обе части, соответственно, на , , и положить 18 Заключение Мы дали аналитическое представление для любой эллиптической функции, отталкиваясь от сформулированного ее дескриптивного определения.

Лань, — с. Просвещение, — с. Физмат, — с. Многие годы астрономы и ученые мечтали достичь пределов космоса и узнать — где же все-таки находится граница Вселенной. Критерии устойчивости линейных систем Устойчивость линейных систем, алгебраические и геометрические критерии устойчивости.

Для интегралов в форме 15 приняты следующие обозначения:. Особенно часто встречаются интегралы с амплитудой , равной ; они называются полными и для первых двух из них приняты специальные обозначения.

Действительно, отрезок дуги, соответствующий изменению абсциссы от 0 до x равен. Это — эллиптический интеграл второго рода в форме Лежандра. Полная длина эллипса выражается через эллиптический интеграл. Этому обстоятельству и обязаны своим названием эллиптические интегралы, а также их обращения — эллиптические функции.

Эллиптические координаты также связаны с эллиптическим функциями. Чтобы ввести их, рассмотрим уравнение. Эти корни называются эллиптическими координатами точки x , y , z.

Система координат , , ортогональна, так как поверхности. Нетрудно вывести формулы, выражающие декартовы координаты через эллиптические. Для этого достаточно привести левую часть 17 к общему знаменателю и, заметив, что в числителе при этом получится многочлен третьей степени относительно p со старшим коэффициентом -1, разложить его на линейные множители.

Чтобы получить 18 , остается умножить обе части, соответственно, на , , и положить. Мы дали аналитическое представление для любой эллиптической функции, отталкиваясь от сформулированного ее дескриптивного определения. Для рациональных функций мы имеем два аналитических представления.

В основе перового из них лежит задание полюсов рациональной функции и соответствующих им главных частей, что приводит нас к разложению рациональной функции на простейшие дроби. В основе второго аналитического представления рациональной функции лежит задание ее нулей и полюсов, что дает нам возможность представить ее в виде отношения произведений линейных множителей.

Лань, — с. Функции комплексного переменного с элементами операционного. Просвещение, — с. Основы теории функций комплексного переменного и. Физмат, — с. Искать работы со схожим названием. С помощью теории интегралов изложено нахождение площадей, ограниченных Построена теория краевых задач для эллиптических операторов на Покажем, что искомую функцию может быть представлена интегралом типа Пуассрна, который Изучая сложение абелевых интегралов сначала в гиперэллиптическом случае, он доказал теорему Теория эллиптических функций и теория тета- функций , суммы Якоби и круговые поля Абель и независимо от него Якоби рассмотрели обратные функции В - Сформулируйте теорему Дирихле о разложении функции в Какой вид имеют интегралы Фурье по косинусам Остроградский сопоставил с точным решением уравнения в эллиптических функциях Якоби.

Languages Русский English Войти. Наука, pdf Бейтмен Г. Наука, pdf Бернштейн С. ИЛ, pdf Вейль А. Мир, pdf Виленкин Н. Наука, pdf Геронимус Я. ИЛ, pdf Журавский А. Наука, pdf Киселев О. Высшая школа, pdf Комаров И.